是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹,也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1的常值的点之轨迹。它是圆锥曲线的一种,即圆锥与平面的截线。在方程上可以写为:x^2/a^2+y^2/b^2=1,它还有其他一些表达形式,如参数方程表示等等。在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色,即行星轨道是,以恒星为焦点。
基本信息
中文名:
目前状况:使用中
外文名:oval-shaped
应用学科:数学、几何
几何类别:圆锥曲线
表达式:x?/a?+y?/b?=1
适用领域范围:几何计算
参数方程:x=acosθ,y=bsinθ
研究历史
阿波罗尼奥斯所着的八册《圆锥曲线论(conics)》中首次提出了今日大家熟知的ellip(抛物线)、(双曲线)等与圆锥截线有关的名词,可以说是古希腊几何学的精擘之作。
直到十六、十七世纪之交,开普勒(kepler)行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道,是一种以太阳为其一焦点的。
定义
第一定义
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平面内与两定点
、
的距离的和等于常数
(
)的动点p的轨迹叫做。
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即:
其中两定点
、
叫做的焦点,两焦点的距离
叫做的焦距。
为的动点。
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截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴,长为
截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴,长为
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可变为
第二定义
平面内到定点
(c,0)的距离和到定直线
:
(
不在
上)的距离之比为常数
(即离心率
,0a;1)的点的轨迹是。
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其中定点
为的焦点
,定直线
称为的准线(该定直线的方程是
(焦点在x轴上),或
(焦点在y轴上))。
其他定义
根据的一条重要性质:上的点与长轴两端点连线的斜率之积是定值,定值为
,可以得出:
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在坐标轴内,动点(
)到两定点(
)(
)的斜率乘积等于常数;0)
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注意:考虑到斜率为零时不满足乘积为常数,所以
无法取到,即该定义仅为去掉两个点的。
也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。
方程
中心点为(h,k),主轴平行于x轴时,
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标准方程
正在加载f点在x轴
高中课本在平面直角坐标系中,用方程描述了,的标准方程中的“标准”指的是中心在原点,对称轴为坐标轴。
的标准方程有两种,取决于焦点所在的坐标轴:
1)焦点在x轴时,标准方程为:x?/a?+y?/b?=1(aa;0)
2)焦点在y轴时,标准方程为:y?/a?+x?/b?=1(aa;0)
上任意一点到f1,f2距离的和为2a,f1,f2之间的距离为2c。而公式中的b?=a?-c?。b是为了书写方便设定的参数。
又及:如果中心在原点,但焦点的位置不明确在x轴或y轴时,方程可设为;0,na≠n)。即标准方程的统一形式。
的面积是πab。可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是:x=acosθ,y=bsinθ
标准形式的在(x0,y0)点的切线就是:xx/a?+yy/b?=1。切线的斜率是:-b?x/a?y,这个可以通过很复杂的代数计算得到。
参数方程
x=acosθ,y=bsinθ。
求解上点到定点或到定直线距离的最值时,用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解
x=axcosβ,y=bxsinβa为长轴长的一半
极坐标
(一个焦点在极坐标系原点,另一个在θ=0的正方向上)
r=a(1-e?)/(1-ecosθ)
(e为的离心率=c/a)
几何性质
基本性质
1、范围:焦点在
轴上
,
;焦点在
轴上
,
2、对称性:关于x轴对称,y轴对称,关于原点中心对称。
3、顶点:(a,0)(-a,0)(0,b)(0,-b)
4、离心率:
或e=√(1-b^2/a?)
5、离心率范围:0a;1
6、离心率越大就越扁,越小则越接近于圆。
7、焦点(当中心为原点时):(-c,0),(c,0)或(0,c),(0,-c)
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8、
与
(m为实数)为离心率相同的。
9、p为上的一点,a-c≤pf1(或pf2)≤a+c。
切线法线
定理1:设f1、f2为c的两个焦点,p为c上任意一点。若直线ab切c于点p,且a和b在直线上位于p的两侧,则∠apf1=∠bpf2。
定理2:设f1、f2为c的两个焦点,p为c上任意一点。若直线ab为c在p点的法线,则ab平分∠f1pf2。
上述两定理的证明可以查看参考资料。
光学性质
的面镜(以的长轴为轴,把转动180度形成的立体图形,其外表面全部做成反射面,中空)可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处;的透镜(某些截面为)有汇聚光线的作用(也叫凸透镜),老花眼镜、放大镜和远视眼镜都
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